En esta publicaci贸n explicaremos la transformaci贸n lineal y su relaci贸n con las matrices. Ac谩 nos centraremos en c贸mo estas transformaci贸n se ven en casos de dos dimensiones y en c贸mo se relacionan con la idea de la multiplicaci贸n matriz-vectorial.

Por lo tanto, empecemos analizando este t茅rmino de transformaci贸n lineal.

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Definici贸n

Transformaci贸n es esencialmente una funci贸n, la cual recibe entradas y genera una salida para cada una. Espec铆ficamente en el contexto del聽谩lgebra lineal, podemos pensar que en las transformaciones entra alg煤n vector y genera otro vector.

Pero, 驴por qu茅 se usa la palabra transformaci贸n en lugar de funci贸n, si significan lo mismo?

Es para sugerir una cierta forma de visualizar esta relaci贸n entrada-salida. Una gran manera de entender las funciones de los vectores, es usar el movimiento.

Si una transformaci贸n toma alg煤n vector de entrada y genera un vector de salida, entonces nos imaginamos que el vector de entrada se mueve hacia el vector de salida.

Entonces para entender la transformaci贸n como un todo, podr铆amos imaginarnos viendo todos los vectores de entrada posibles, movi茅ndose hacia su correspondiente vector de salida.

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Si pensamos en todos los posibles vectores de una sola vez puede parecer muy complicado, por lo tanto, como se explico en el anterior video, podemos sustituir la flecha por el punto.

Ahora si pensamos en una transformaci贸n de todos los vectores de entrada posibles a alg煤n vector de salida, observamos cada punto del espacio movi茅ndose hacia otro punto.

Aunque las transformaciones arbitrarias pueden parecer bastante complicadas, pero afortunadamente,聽谩lgebra lineal se limita a un tipo especial de transformaci贸n. Una que es mas f谩cil de entender, que es la transformaci贸n lineal.

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Propiedades de la transformaci贸n lineal

Una transformaci贸n es lineal tiene dos propiedades. Todas las l铆neas deben permanecer como l铆neas sin curvarse, y el origen debe permanecer fijo.

Por ejemplo esto no ser铆a una transformaci贸n lineal, ya que las l铆neas se vuelven curvas. Y esta de aqu铆, aunque mantiene la l铆nea recta, el origen se ha movido.

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En general, se debe tener claro que las transformaciones lineales mantiene la cuadr铆cula paralelas y espaciadas uniformemente.

Algunas transformaciones lineales son f谩ciles de visualizar, como rotaciones sobre el origen, otras son un poco m谩s dif铆ciles de describir con palabras.

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Representaci贸n matem谩tica

Entonces, 驴c贸mo podr铆amos describir estas transformaciones num茅ricamente?, es decir 驴qu茅 f贸rmula le das a la computadora para que con las coordenadas de un vector te genere las coordenadas del nuevo vector?

Resulta que solo necesitas registrar donde est谩n los dos vectores bases 鈥渋鈥 y 鈥渏鈥, y todo lo dem谩s vendr谩 de ah铆.

Por ejemplo, considera el vector 鈥渧鈥 con coordenadas 4, -2. Lo que significa que es igual a cuatro veces 鈥渋鈥, m谩s negativo dos vez 鈥渏鈥.

Si jugamos a la transformaci贸n y seguimos a donde van estos tres vectores, la propiedad de que las l铆neas de la cuadr铆cula permanece paralelas y tiene una consecuencia muy importante.

El lugar en donde 鈥渧鈥 聽aterriza, ser谩 cuatro veces el vector donde aterriz贸 鈥渋鈥, m谩s negativo dos veces el vector donde aterrizo 鈥渏鈥. En otras palabras, comenz贸 como una cierta聽combinaci贸n lineal de 鈥渋鈥 y 鈥渏鈥 y termina como la misma combinaci贸n lineal de d贸nde aterrizaron esos dos vectores.

Esto significa que puedes deducir a donde debe ir P bas谩ndose solo en adonde 鈥渋鈥 y 鈥渏鈥 han aterrizado.

Si colocamos la cuadricula del plano original, podemos deducir que que 鈥渋鈥 aterrizo en las coordenadas 1, -1. Mientras que 鈥渏鈥 aterrizo en las coordenadas 1,1.

Esto significa que el vector representado por 4 鈥渋鈥 m谩s -2 vez 鈥渏鈥, termina 4 multiplicado por el vector 1, -1, m谩s negativo 2 por el vector 1,1.

Sumando todo esto se puede deducir que el nuevo vector debe aterrizar en 2,-6.

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Pero expliquemos algo que nos sale de todo este an谩lisis. En esta explicaci贸n te estoy mostrando la transformaci贸n completa, podr铆as haber visto en la gr谩fica las coordenadas del vector v, pero lo bueno de esto es que nos da una t茅cnica para deducir d贸nde aterrizan los vectores.

Por lo tanto, siempre y cuando tengamos un registro en donde 鈥渋鈥 y 鈥渏鈥 han aterrizado, luego de una transformaci贸n, podemos determinar el vector resultado sin necesidad de observar la transformaci贸n en s铆 misma.

Esto lo que quiere decir que una transformaci贸n lineal bidimensional se describe completamente con solo cuatro n煤meros. Las dos coordenadas en donde 鈥渋鈥 aterrizo y las dos coordenadas en donde 鈥渏鈥 aterrizo.

Es com煤n empaquetar estas coordenadas en una cuadr铆cula de n煤meros de dos por dos llamada matriz de 2×2, donde se pueden interpretar las columnas como los dos vectores, 鈥渋鈥 y 鈥渏鈥.

Ahora, si te digo que 鈥渋鈥 aterrizo en 1, -1 y 鈥渏鈥 aterrizo en 1, 1, podemos sustituir estos valores en la f贸rmula, por lo que si te doy cualquier vector puedes calcular donde aterriza ese vector usando esta f贸rmula.

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Esto se corresponde con la idea de a帽adir las versiones a escala de nuestros nuevos vectores base.

Veamos esto es un caso muy general, en donde la matriz tiene los valores a, b, c, d. Recuerda, esta matriz es solo una forma de presentar la informaci贸n necesaria para describir una transformaci贸n lineal. En donde la primera columna, a, c representa el vector base 鈥渋鈥 y la segunda columna, b, d, son las coordenadas en donde aterrizo el vector base 鈥渏鈥.

Cuando aplicamos esta transformaci贸n a alg煤n vector x, y, obtenemos x veces, a,c y y veces b,d. Poniendo todo esto junto obtenemos un vector: ax +by, cx + dy.

Esto lo pudi茅semos haber deducido desde el principio pero con toda esta explicaci贸n de manera gr谩fico creo que ha sido mejor para que se entendiera mejor estos conceptos.

Veamos un nuevo ejemplo.

Si rotamos todo el espacio 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj. Ahora 鈥渋鈥 aterriza en las coordenadas (0,1) y 鈥渏鈥 aterriza en (-1,0). As铆 que la matriz con la que terminamos tiene columnas (0, 1) (-1, 0).

Si queremos determinar que le sucede a cualquier vector despu茅s de una rotaci贸n de 90 grados. Podr铆as multiplicar sus coordenadas por esta matriz.

En resumen, las transformaciones lineales son una forma de moverse de manera que las l铆neas de la cuadr铆cula permanezcan paralelas y espaciadas uniformemente, y que el origen permanezca fijo.

Estas transformaciones pueden ser descritas usando solo un pu帽ado de n煤meros, las coordenadas en donde aterrizan cada vector base.

Las matrices nos dan un lenguaje para describir estas transformaciones donde las columnas representan esas coordenadas y la multiplicaci贸n vectorial de la matriz es solo una forma de calcular lo que esa transformaci贸n hace a un vector dado.

Lo importante ac谩 es que veas que una matriz que se puede interpretar como una cierta transformaci贸n del espacio, entendiendo esto podr谩s comprender 谩lgebra lineal profundamente.

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Respuesta a la pregunta del video

Opci贸n 1:聽El vector base i ser谩 la primera fila correspondiente a la matriz 2×2.

Respuesta incorrecta.聽El vector base i ser谩 la primera columna de la matriz 2×2.

Opci贸n 2:聽Al realizar una transformaci贸n lineal, todas las l铆neas deben permanecer como l铆neas sin curvarse, y el origen debe permanecer fijo.

Respuesta correcta.

Opci贸n 3:聽Si tenemos un registro en donde 鈥渋鈥 y 鈥渏鈥 han aterrizado, podemos determinar el vector resultado.

Respuesta correcta.

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