En una antigua publicaci贸n te explique sobre los vectores y las operaciones matem谩ticas principales que se llevan a cabo.

En esta publicaci贸n nos enfocaremos en que aprendas de qu茅 se trata las matrices.

aprende f谩cilmente inteligencia artificial - newsletter

pregunta aprendeia

Definici贸n

Una matriz es una colecci贸n de n煤meros ordenados en filas y columnas como 茅sta, por ejemplo, esta matriz contiene los n煤meros 7 18 3 -6 0 y 12. Cada uno de estos valores es un elemento de la matriz. As铆 que nuestra matriz tiene un total de 6 elementos.

AL5-1

Para que quede claro que se trata de una matriz, colocamos todos los elementos entre corchetes, y normalmente denotar铆amos una matriz con una letra may煤scula, por ejemplo, A.

Nuestra matriz A tiene 2 filas y 3 columnas. En聽谩lgebra lineal聽las filas y las columnas son las dos dimensiones de la matriz de la matriz A. As铆 que decimos que sus dimensiones son 2 y 3 o mejor dicho 2 x 3. Normalmente tomar铆amos nota de ello y lo pondr铆amos debajo de la letra A.

Las matrices pueden parecer tablas y hojas de c谩lculo al principio. Sin embargo, el prop贸sito de las matrices no es simplemente almacenar valores, sino ser los protagonistas de las operaciones matem谩ticas.

Dos matrices se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Entonces el 谩lgebra lineal es similar al 谩lgebra en el tipo de operaciones que hay, pero difiere en c贸mo y cuando estas operaciones se implementan y si est谩n permitidas. Esto lo discutiremos en este video.

como empezar a aprender python para machine Learning

Representaci贸n gr谩fica

Una matriz solo puede contener n煤meros, s铆mbolos o expresiones con la idea de que los dos 煤ltimos no son nada m谩s que una representaci贸n generalizada de n煤meros.

AL5-2

Por ejemplo, la colecci贸n de los siguientes 6 s铆mbolos, A B C D E F, muestra una matriz diferente de 2 x 3, llamada B.

Aqu铆 hay otra matriz llamada C, est谩 tiene 4 elementos y es una matriz 2 x 2. Sus elementos no son valores sino expresiones.

Ahora hablemos del tama帽o de una matriz. Las matrices pueden ser de cualquier tama帽o, en el caso general estamos hablando de una matriz m x n.

Si A es una matriz m x n, esto significa que hay m filas y n columnas.

En ocasionas nos tenemos que referir a un elemento particular de la matriz A, por lo que los elementos de la matriz se denotan con una a min煤scula y dos n煤meros que indican su respectiva posici贸n en cuanto a fila y columna.

Por ejemplo, aij es el elemento en la posici贸n ij, donde i es la fila y j es la columna respectiva.

Por lo tanto, si queremos rellenar la matriz, empezaremos con un a11, a12, a13, hasta a1n para finalizar la primera fila.

Del mismo modo tenemos, a11, a21, a31 hasta am1, para completar la primera columna.

El 煤ltimo elemento de la matriz es amn, es el n煤mero total de elementos.

AL5-3

Algo que tienes que tener claro es que, en la gran mayor铆a de los lenguajes de programaci贸n, las matrices parten desde 0 en vez desde 1. Por ejemplo, en Python, las matrices empiezan de cero. Por lo que tienes que tener en cuenta esto cuando codifiques.

AL5-4

algebra lineal en machine learning

Suma de matrices

Esta es una operaci贸n extremadamente f谩cil, solo hay una condici贸n que se debe cumplir y es que ambas matrices deben tener las mismas dimensiones.

Veamos esto en un ejemplo, tenemos dos matrices, M1 y M2.

M1 es igual a 5, 12, 6 para la primera fila y -3, 0 y 14 para la segunda fila. Por su parte, M2 es igual a 9, 8, 7 para la primera fila y 1, 3, y -5 para la 煤ltima fila.

Como puedes observar ambas matrices son 2 x 3.

Si quiero sumar ambas matrices, lo 煤nico que se debe hacer es sumar las entradas correspondientes una con la otra y el resultado ser谩 una matriz 2 x 3.

Para el elemento en la posici贸n 1 1 tenemos 5 + 9, para el elemento en la posici贸n 1 2 tenemos 12 + 8. Continuamos de esta forma para el resto de los elementos hasta la posici贸n 2 3 en donde tenemos 14 + -5.

Ahora lo que nos queda es hacer los c谩lculos sencillos y llegar a la soluci贸n.

Para la primera fila tenemos 14, 20, y 13, mientras que para la segunda fila -2, 3 y 9. Este es el resulta de la suma de las dos matrices. As铆 de simple.

AL5-5

calculo en machine learning

Resta de matrices

Ahora, como sabes,聽restar es muy parecido a sumar, por lo que las mismas condiciones y reglas de la suma se aplica a la resta de matrices.

Veamos estas dos matrices. Para calcular la resta de estas dos matrices, solamente tenemos que restar cada uno de estos elementos con su respectivo elemento en su posici贸n correspondiente, igual como lo hicimos en la suma.

Nota que las dos matrices tienen las mismas dimensiones, 2 x 2, por lo que el resultado de la resta ser谩 2 x 2.

El resultado de la resta es -2 y 8 para la primera fila y -5 y -4 para la segunda fila.

La suma y resta de matrices, no solamente aplica para n煤meros enteros, tambi茅n puedes hacerlo cuando la matriz cuenta con n煤meros decimales o flotante. El procedimiento ac谩 es exactamente igual que como hicimos la suma y resta de las anteriores matrices.

AL5-6

calculo en machine learning

Transposici贸n de las matrices

Comencemos con los聽vectores. Los vectores pueden ser de filas o columnas.

Entonces decimos que x es el vector tipo columna igual a 1, 2, 3.

Hay una operaci贸n matem谩tica especial en donde podemos convertir un vector de tipo columna en un vector tipo fila. A esto se le conoce como transposici贸n.

Podemos transponer el vector x y convertirlo en una fila. En donde 1, 2, y 3 se encuentra uno al lado del otro.

Denotamos esta operaci贸n con la letra T.

AL5-7

Veamos otro ejemplo, tenemos el vector fila 3, 2, 1. Si lo transponemos ahora tenemos un vector columna, 3, 2, y 1.

Esta es una operaci贸n sencilla, por ejemplo, se transportamos dos veces la matriz x, obtenemos la matriz x original.

Pero existen algunas consideraciones que debemos tomar en cuanta cuando realizamos estas operaciones.

La primera es que cuando transponemos un vector no estamos perdiendo ninguna informaci贸n. Los valores no cambian o se transforman, solo su posici贸n lo hace.

Segundo, transponer dos veces el mismo vector, obtenemos el vector original.

Tercero, nuestro vector inicial tiene longitud de 3 x 1 al transponerlo tiene una longitud de 1 x 3.

Esta 煤ltima consideraci贸n da un vistazo a c贸mo funciona la transposici贸n de matrices. Convierte todas sus filas en columnas y viceversa. En t茅rminos de dimensiones al transponer una matriz m x n, se convierte en una matriz n x m.

Veamos ahora un ejemplo con una matriz. A es igual a 5, 12 y 6 para la primera fila y -3, 0 y 14 para la 煤ltima fila, esta es una matriz 3 x 2.

Si transponemos esta matriz obtenemos una matriz 2 x 3. Y sus valores ahora ser谩n 5 y -3 para la primera fila, 12 y 0 para la segunda fila y 6 y 14 para la 煤ltima fila.

Podemos observar que la primera columna de la matriz original ahora se convirti贸 en la primera fila de la matriz traspuesta. La segunda columna de la matriz original ahora es la segunda fila de la matriz traspuesta. Y la tercera columna de la matriz original ahora es la tercera fila de la matriz traspuesta.

AL5-8

De esta forma es como se ejecuta la traspuesta de una matriz.

algebra lineal en machine learning

Multiplicaci贸n de matrices

En una publicaci贸n anterior te explique como multiplicar un escalar con un vector, ahora veamos otra forma de multiplicar vectores y posteriormente la multiplicaci贸n de matrices.

Para aclarar, hay dos tipos de multiplicaciones que podemos conseguir. Una se llama multiplicaci贸n o producto punto y la otra se llama producto cruz. De esta 煤ltima no vamos a hablar ac谩.

En este curso nos enfocaremos solamente en el producto punto.

El producto punto tambi茅n es conocido como el producto interno. La notaci贸n ac谩 cambia, en vez de ser una x debemos colocar es un punto.

La multiplicaci贸n funciona de esta forma, cada dos elementos correspondientes los multiplicamos y luego se suma cada elemento. El resultado ser谩 un escalar.

Ve谩moslo con el ejemplo, 2 veces 1 m谩s 8 veces -7 m谩s menos 4 veces 3. El resultado es -66.

Como puedes observar multiplicamos dos vectores y obtuvimos un escalar, por esta raz贸n en ocasiones se le conoce como el producto escalar.

AL5-9

Ten en cuenta que el producto punto no es m谩s que la suma de los productos de los elementos correspondientes.

Apliquemos este mismo m茅todo, pero ahora utilizando matrices.

Como en otros casos, solo podemos multiplicar una matriz de m x n por una matriz n x k. B谩sicamente, la segunda dimensi贸n de la primera matriz tiene que coincidir con la primera dimensi贸n de la segunda matriz.

Entonces podemos multiplicar matrices 2 x 3 por una matriz 3 x 1. O matrices 3 x 2 y 3 x 3, y as铆 sucesivamente, hasta matrices 3 x k. Lo importante es que esos 3 siempre coincidan.

Sabiendo esto, veamos ahora la dimensi贸n del producto final. Si multiplicamos una matriz m x n por n x k el resultado ser谩 una matriz m x k.

Por ejemplo, si una matriz es 2 x 3 y la multiplicamos por una matriz 3 x 5 el resultado ser谩 una matriz 2 x 5.

Ahora veamos como multiplicamos estas matrices utilizando el producto punto.

La primera matriz es 2 x 3 mientras que la segunda matriz es 3 x 2.

Lo primero que debemos revisar es la compatibilidad para saber si es posible multiplicar ambas matrices, entonces la segunda dimensi贸n de la primera matriz es 3 mientras que la primera dimensi贸n de la segunda matriz es 3, por lo que estos valores coinciden por lo que con estas matrices podemos realizar el producto punto.

Sabiendo esto ya podemos deducir que el resultado ser谩 una nueva matriz de 2 x 2.

Ahora si hagamos la multiplicaci贸n, pero antes debes recordar dos cosas importantes.

Primero, las matrices no son m谩s que una colecci贸n de vectores.

Segundo, el producto punto no es m谩s que la multiplicaci贸n de un vector fila por un vector columna.

Como aplicamos esto a nuestros datos, bueno la primera matriz esta formada por tres vectores filas, el primero es 5, 12 y 6 mientras que el otro vector es -3, 0 y 14.

Por su parte la segunda matriz esta formada por 2 vectores columnas, 2, 8 y 3 el primer vector y -1, 0 y 0 el segundo vector.

Para obtener el producto punto de las dos matrices solamente tenemos que obtener el producto punto de cada uno de los vectores.

Desarrollemos la primera operaci贸n, hallemos el producto punto de 5, 12 y 6 y 2, 8 y 3. Esta operaci贸n ser铆a 5 veces 6 m谩s 12 veces 8 m谩s 6 veces 3. El resultado de esta operaci贸n es 124. Este ser谩 el primer n煤mero que colocamos en nuestra nueva matriz.

Ahora hallemos el producto punto de 5, 12 y 6 con el segundo vector de la segunda matriz, -1, 0 y 0. La operaci贸n ser铆a 5 veces -1 m谩s 12 veces 0 m谩s 6 veces 0. El resultado ser谩 -5. Este es el segundo elemento de nuestra matriz resultado.

Ahora hacemos el mismo procedimiento con el segundo vector de la primera.

Primero lo multiplicamos que el primer vector de la segunda matriz, como ya lo explicamos anteriormente y el resultado es 36, este es el primer resultado de la segunda fila de la matriz resultado.

Ahora hacemos el mismo procedimiento con los dos 煤ltimos vectores. Ac谩 tenemos como resultado, despu茅s de la multiplicaci贸n y suma de los valores, de 3.

Ya tenemos nuestra matriz resultado.

AL5-10

Tienes que tener cuidado en donde colocas los elementos de cada una de las operaciones, observa que los vectores fila de la primera matriz determinan la fila de la matriz de salida.

pregunta aprendeia

Respuesta a la pregunta del video

Opci贸n 1:聽Es posible sumar una matriz de 2×3 y un vector.

Respuesta incorrecta. No es posible sumar una matriz y un vector porque tienen dimensiones distintas.

Opci贸n 2:聽Al multiplicar una matriz de 4×5 por otra de 5×5 el resultado es una matriz de 5×4.

Respuesta incorrecta. La matriz resultante ser谩 5×5.

Opci贸n 3:聽Si transportamos dos veces la matriz A, obtenemos la matriz A original.

Respuesta correcta.

Deja en los comentarios cu谩l crees que sea la opci贸n correcta. Puede ser una o m谩s respuestas las correctas.

Si te est谩s iniciando en Machine Learning y a煤n no conoces los temas y 谩reas de matem谩ticas que necesitas enfocarte, te ofrezco un listado con este contenido. Con esta gu铆a podr谩s conocer los temas de matem谩ticas que deber谩s aprender para avanzar en tu aprendizaje de Machine Learning. Para descargar la gu铆a solamente tienes que ingresar a este enlace.

1 comentario en “Matrices en 脕lgebra Lineal”

  1. excelente informaci贸n. Por cierto revisa tu secci贸n de contactos, el formulario esta fallando. Saludos de un paisano.

Deja un comentario

Tu direcci贸n de correo electr贸nico no ser谩 publicada.