En una anterior publicaci贸n, te explique las bases fundamentales de los vectores聽as铆 como realizar sumas de vectores y la multiplicaci贸n escalar.

Ahora veamos otra forma de pensar en las coordenadas, que es bastante fundamental en el聽谩lgebra lineal.

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Definici贸n

Cuando tienes un par de n煤meros para escribir un vector, por ejemplo, tienes un par de n煤meros para describir un vector, como 4 y -2. Quiero que pienses en cada coordenada como un escalar. Es decir, piensa en c贸mo cada uno alarga o reduce vectores.

En el sistemas de coordenadas, hay dos vectores muy especiales, uno que apunta a la derecha con la longitud de 1, com煤nmente llamado 鈥渋鈥 o el vector unitario en la direcci贸n 鈥淴鈥; y otro que apunta hacia arriba con longitud de 1, com煤nmente llamado 鈥渏鈥 o el vector unitario en la direcci贸n 鈥淵鈥.

Ahora piensa en las coordenadas escalares de nuestro vector. La coordenada 鈥淴鈥 de nuestro vector ser谩 un escalar que escala 鈥渋鈥, ac谩 se estira por un factor de 4. Por su parte la coordenada de 鈥淵鈥 ser谩 un escalar que escala 鈥渏鈥, d谩ndole la vuelta y estir谩ndolo por un factor de 2.

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En este sentido, el vector que estas coordenadas describe es la suma de dos vectores en escala. Este es un concepto sorprenderte importante, esta idea de sumar dos vectores a escala.

Los dos vectores, 鈥渋鈥 y 鈥渏鈥, tienen un nombre especial. Se le conoce como vectores bases del sistema de coordenadas 鈥渪y鈥. Lo que esto significa b谩sicamente es que cuando piensas en las coordenadas como escalares, los vectores base son lo que esos escalares realmente escalan.

Enmarcado en nuestro sistema de coordenadas en t茅rminos de estos dos vectores de base especiales, surge un nuevo punto interesante y es el de si es posible tener diferentes vectores bases.

Podr铆amos haber elegido diferentes vectores base y obtener un nuevo sistema de coordenadas completamente razonable.

Por ejemplo, si tomamos algunos vectores apuntando hacia arriba y para la derecha junto con otro vector apuntando hacia abajo y hacia la derecha. Piensa en todos los diferentes vectores que puedes conseguir eligiendo dos escalares, usando cada uno para escalar uno de los vectores, y luego sumando lo que obtienes.

驴Cu谩ntos vectores bidimensionales se pueden alcanzar alterando las opciones de los escalares?

La respuesta es que podemos alcanzar cualquier vector dimensional posible. Pero veamos el por qu茅 de esto.

Un nuevo par de vectores de bases como este todav铆a nos da una manera valida para un par de n煤meros y un vector de dos dimensiones pero la asociaci贸n es totalmente distinta a lo que se obtiene utilizando una base m谩s est谩ndar de 鈥渋鈥 y 鈥渏鈥. Cada vez que describimos vectores num茅ricamente, depende de una elecci贸n impl铆cita de los vectores base que estamos usando.

Entonces cada vez que escalamos dos vectores, como lo explicamos ac谩, se llama una combinaci贸n lineal de dos vectores.

Ahora bien, si dejas que los dos escalares se extiendan libremente y consideras todos los vectores posibles que puedes conseguir, hay dos cosas que pueden pasar. Para la mayor铆a de los pares de vectores, ser谩s capaz de llegar a todos los puntos posibles en el plano. Cada vector bidimensional est谩 a tu alcance.

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Sin embargo, en el desafortunado caso en el que tus dos vectores originales se alineen, la punta del vector resultante es limitada a la 煤nica l铆nea que pasa a trav茅s del origen.

Aunque, en realidad, t茅cnicamente, tambi茅n hay una tercer posibilidad, ambos vectores podr铆an ser cero, en cuyo caso estar铆as atrapado en el origen.

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Espacio generado (span)

Otro concepto que debes conocer es el siguiente: el conjunto de todos los vectores posibles que se puedan alcanzar con una combinaci贸n lineal de un par dado de vectores se llama espacio generado o span de esos dos vectores.

As铆 que revisando lo explicado hasta ahora, la extensi贸n de la mayor铆a de los pares de vectores 2D son todos vectores del espacio 2d, pero cuando se alinean, su espacio generado es la de todos los vectores cuya punta se encuentra en una determinada l铆nea.

Te acuerdas que en el 谩lgebra lineal giraba entorno a la suma de vectores y la multiplicaci贸n escalar.

Bueno, el espacio generado o span es b谩sicamente una forma de preguntarse cu谩les son todos los vectores posibles que puedes alcanzar usando solo estas dos operaciones fundamentales, suma de vectores y multiplicaci贸n escalar.

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Diferencia entre un vector y un punto en el plano

En este punto, veamos qu茅 diferencia existe entre un vector y un punto en el plano.

Cuando tenemos una colecci贸n de vectores es com煤n representar a cada uno con un solo punto en el espacio. El punto lo ubicamos en la punta de ese vector, donde se tiene un vector con su cola en el origen.

Por esta raz贸n, si quieres pensar sobre cada vector posible cuya punta se encuentra en una cierta l铆nea, solo debes pensar en la l铆nea en s铆.

En general, si est谩s pensando en un vector por s铆 solo, piense en 茅l como una flecha. Pero si se trata de una colecci贸n de vectores, es conveniente pensar en todos ellos como puntos.

As铆 que, para nuestro ejemplo, el espacio generado de la mayor铆a de los pares de vectores termina siendo toda la hoja infinita del espacio bidimensional. Pero si se alinean, su envergadura es solo una l铆nea.

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pregunta aprendeia

Respuesta a la pregunta del video

Opci贸n 1:聽Podemos alcanzar cualquier vector dimensional posible alterando las opciones de los escalares.

Respuesta correcta.

Opci贸n 2:聽Cuando dos vectores originales se alinean, la punta del vector resultante es limitada a la 煤nica l铆nea que pasa a trav茅s del origen.

Respuesta correcta.

Opci贸n 3:聽El conjunto de todos los vectores que se puedan alcanzar con una combinaci贸n lineal de un par de vectores se llama span de esos dos vectores.

Respuesta correcta.

Deja en los comentarios cu谩l crees que sea la opci贸n correcta. Puede ser una o m谩s respuestas las correctas.

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